Ejercicio de Metodo Simplex (Maximización)

x + 2y ≤ 4

x + y ≤ 3

Funcion objetivo z= 2x + 3y

Pasos:

*Convertir las inecuaciones en ecuaciones

x + 2y = 4

x + y = 3

*Igualar la Función Objetivo a cero

-2x -3y + z = 0

3.Escribir la tabla inicial Simple

----------

4. Seleccionar el numero negativo mayor en valor absoluto de la Función Objetivo

En este caso es = 3

5. Hacer la tabla de nuevos coeficientes

* La columna donde aparece el numero negativo mayor seleccionado se llama Columna Pivote y nos indica cual variable de decision es la que entra a la base en nuestro caso es "y".

* Con los valores solucion dividimos cada uno de los terminos de la columna pivote:

4/2 = 2

3/1 = 3

Y tomamos el valor menor de estos cocientes para designar nuestra fila pivote y nos indica la variable de holgura que sale de la base y nos determina nuestro pivote operacional.

=2

* Con el pivote operacional dividimos todos los valores de la fila pivote, con la finalidad de hacerlo 1

--------

* Hacer cero los valortes de la columna pivote incluyendo la funcion objetivo

*Ahora tomamos el -1/2 como negativo para indicar la columna pivote y la variable que entra a la base es "x"

* Dividimos los valores solución entre los valores de la columna pivote para hallar la fila pivote y donde se crucen tendremos el pivote operacional.

2/ 1/2 = 4

1/ 1/2 = 2

Pivote operacional = 1/2

---------

*La intencion de hacer 1 el pivote operacional es con la finalidad de hacer "ceros" la columna pivote incluyendo la funcion objetivo.

6. Sustituyendo en la ecuacion original

x =2

y = 1

x + 2y ≤ 4

x + y ≤ 3

2 +(1) ≤ 4

2 + 1 ≤ 3

Maximizacion de la Funcion Objetivo

z = 2x + 3y

z = 2 (2) + 3 (1)

z = 7

Ejercicio de Programación Lineal.

Un fabricante de acero produce dos tipos de este material, el grado 1 y el grado 2. El tipo 1 requiere 2 horas de fundición, 4 horas de laminado y 10 horas de corte. El tipo 2 necesita 5 horas de fundición, 1 hora de laminado y 5 horas de corte. Se dispone de 40 horas para fundición, 20 horas para laminado y 60 horas para corte. El margen de beneficio para el tipo 1 es de $24 y para el tipo 2 es de $8. Determinar la dualidad de producción que maximiza los beneficios.

Tipo 1

Fundición 2

Laminado 4

Corte 10

Tipo 2

Fundicón 5

Laminado 1

Corte 5

Maximizar Función Objetivo: 24x + 8y

2x + 5y ≤ 40

4y + y ≤ 20

10x + 5y ≤ 60

Resolución por el método gráfico

Ecuación 1 x=0 y=8 (0,8)

y=0 x=20 (20,0)

Ecuación 2 x=0 y=20 (0,20)

y=0 x=5 (5,0)

Ecuación 3 x=0 y=12 (0,12)

y=0 x=6 (6,0)

Entonces tenemos que el conjunto solución es: (4, 4)

Maximizando la Función objetivo

z= 24x + 8y

z= 24(4) + 8(4) = 128

MÉTODO SIMPLEX

El metodo SIMPLEX se utiliza para resolver problemas que tienen 3 o mas variables, utilizando el proceso de Gauss-Jordan y tambien el de Matrices.

En este método la solucion se va encontrando paso por paso, y cuando ya no es posible mejorar la solucion se determina que ha concluido el proceso.

Método
Simplex: Sección algebraica - Para expresar el modelo matemático - Sección de comprensión

Sección aritmética - Método tabular, Método Gauss (renglones) - Sección de solución

Pasos del Método Simplex:

1. Convertir las inecuaciones en ecuaciones
2. Igualar la Funcion Objetivo(F.O.) a 0 (cero)
3. Escribir la tabla inicial simplex
4. Seleccionar el número negativo mayor en valor absoluto de la F.O.
5. Hacer la tabla de nuevos coeficientes

Campo de Aplicación de la Programación Lineal

• Asignación de Instalaciones Productoras cuando existen rutas alternas; esta se da cuando se tiene tiempo de máquinas, rutas de máquinas, horas disponibles y clases de máquina, cantidades por máquina. La progrmación lineal suele solucionar alguna de esas variables, buscando maximizar nuestra función objetivo o minimizar los costos marginales.
• Buscar el equilibrio en los inventarios, buscando minimizar los niveles de inventario no óptimo.
• Problemas de mezclas, buscando la cantidad adecuada de cada componente.
• Problemas de adquisición, cuales piezas se deben fabricar y cuales comprar, con la finalidad de incrementar los beneficios.
• Programación de la producción para satisfacer en Pronostico de Ventas. Usando los inventarios adecuados, las horas de trabajo necesarias, con los recursos humanos disponibles.
• Utilización del material al máximo. Buscar la combinación y estandarización cuando se fabrican diferentes tipos de materiales, logrando los menores indices de pérdidas de desperdicios.
• Los Métodos más conocidos y aplicados son: Método Determinisco, Método Probabilistico, Metodo Hibrido, Método Heuristico.

Programacion Lineal

Es el proceso o técnica de solución de sistemas de ecuaciones o inecuaciones lineales sujetas a un conjunto de restricciones, mediante el estudio de modelos matemáticos concernientes a la asignación eficiente de los recursos para una mejor toma de decisiones, Maximizar o Minimizar las funciones lineales en programación lineal tienen como objetivo maximizar los beneficios o minimizar los costos.

Factibilidad

Se refiere a la disponibilidad de los recursos necesarios para llevar a cabo los objetivos o metas señalados

Optimizar

Es la busqueda y el hecho de mejorar el rendimiento de alguna actividad .

Módelo Matemático

Descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. Su objetivo es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

Historia

La Investigación de Operaciones nació durante la Segunda Guerra Mundial debido a la necesidad de asignar recursos escazos a las diferentes operaciones militares.

Científicos que habían participado en la guerra buscaron resultados esenciales en esta materia; un ejemplo sobresaliente es el Método Simplex para resolución de problemas de Programación Lineal desarrollado en 1947 por George Dantzing.

La Revolución de las computadoras también fue un factor importante para el desarrollo de la Investigación de Operaciones. En la década de los 80s con la invención de las computadoras personales cada vez mas rápidas para resolver problemas de Investigación de Operaciones, puso esta técnica al alcance de muchas personas.

Concepto

La Investigación de Operaciones, es una rama de las matemáticas que consiste en el uso de modelos matemáticos, con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones teniendo en cuenta la escasez de recursos, para determinar como se pueden maximizar o minimizar los recursos; y obtener un resultado óptimo.